田 (밭 전)모양의 합성저항 구하기 문제

田 모양으로 연결된 저항의 합성저항을 구하는 문제입니다. 

문제 : 각 저항이 100 옴 이라고 가정했을 때, 

(1) d와 f사이의 합성 저항은 몇 Ω인지 구하시오.

(2) a와 i사이의 합성 저항은 몇 Ω인지 구하시오.

(3) b와 d사이의 합성 저항은 몇 Ω인지 구하시오.

(1) d와 f 사이는 크게 3가지 계통의 저항을 생각할 수 있습니다. b-e, e-h 부분은 등전위가 되어 전류가 흐르지 않으므로 회로에서 제거하면, d-e, e-f 의 저항은 200 [옴]이 됩니다. 그리고 a-d, a-b, b-c, e-f 는 직렬로 연결되어 있으므로 이 구간의 저항은 400 [옴]이 됩니다. 아래쪽도 마찬가지이므로 400 옴이 되고, 결국 200옴과 400옴 2개로 된 3개 저항의 병렬로 볼 수 있습니다. 

400옴 두개를 병렬로 하면 200 옴이 되고, 200 옴 2개가 병렬연결된 상태가 되므로 d-f 사이의 저항은 100 옴이 됩니다. 

(2) a와 i 사이는 2개의 저항 계통으로 나눠볼 수 있습니다. a-b 계열과 a-d 계열로 나눠보면 b-c-f 와 b-e-f 는 서로 병렬이므로 4개의 합성저항은 100 옴이 됩니다. 그리고 이 블록은 a-b, f-i 와 직렬이므로 300 옴이 되는데, 나머지 부분은 대칭이므로 300 옴 두개가 병렬로 연결된 것이 되어 a-i 사이의 저항은 150옴이 됩니다. 

(3) b-d 사이의 저항은 총 3개의 계통으로 나눠볼 수 있습니다. 먼저 b-a-d 의 저항은 100 옴 저항 2개가 직렬연결되어 있으므로 200옴이 됩니다. b-e-d 사이의 저항도 b-a-d 와 마찬가지로 200옴이 됩니다. 나머지 b-c-f 부분과 d-g-h 부분은 각각 200옴 이 되고 f-e-h 와 f-i-h 부분은 200옴이 병렬로 연결되어 있으므로 100 옴이 됩니다. 따라서 이 계통의 저항은 500 옴이 됩니다. 중간 부분은 등전위이므로 휘스톤 브리지 원리로 저항 계통사이의 전류 유입은 없게 됩니다. 따라서 200옴 2개, 500옴 1개 총 3개의 저항이 병렬연결되어 있다고 볼 수 있습니다. 

200옴 2개를 병렬연결하면 100 옴이 되므로 결국 100옴과 500 옴의 병렬합성저항을 구하면 b-d 간 합성저항이 나옵니다. 

병렬저항을 구하는 공식에 대입하면 100*500 / (100+500) = 250/3 ,약 83.3 옴  이 나오게 됩니다. 

따라서 b-d 사이의 합성저항은 83.3 옴이 됩니다. 

---------2017.08.14 추가 --------

(4) a 와 d 사이의 합성 저항은 b-d 사이의 저항값을 구한 것과 비슷한데, a-b 사이의 저항을 떼어놓고 생각하면 b-e-d 와 b-c-f-e-h-g-d, b-c-f-i-h-g-d 의 경로를 생각할 수 있습니다. 이것도 대칭이므로 b-e-d 와 b-c-f-e-h-g-d, b-c-f-i-h-g-d 를 따로 떼어내어 생각할 수 있는데, b-e-d = 200옴,  b-c-f-e-h-g-d, b-c-f-i-h-g-d 는 500옴 이 됩니다. 200옴과 500옴을 병렬연결 하면 142.86옴이 되고, a-b 가 직렬연결 되었으므로 a-d 사이의 저항은 242.86옴과 100옴이 병렬연결된 꼴이 됩니다. 

따라서 a-d 사이의 저항값은 약 70.83 옴이 됩니다. 

(5) a 와 e 사이의 합성 저항은 a-d 와 d-e-g-h 계통, a-b와 b-c-e-f 계통으로 나눠볼 수 있습니다. f와 h 는 등전위이므로 f-i, h-i 로는 전류가 흐르지 않으므로 없다고 가정하면, a-d : 100옴 저항과 d-e : 100옴, d-g-h-e : 300옴이 병렬연결된 것이 직렬연결된 꼴이라고 볼 수 있습니다. 100옴(d-e)과 300옴(d-g-h-e)이 병렬연결되면 75옴이 되고, 여기에 100옴(a-d)가 직렬연결된 꼴이므로 a-e 사이의 저항은 175옴 2개가 병렬연결된 것이라 생각할 수 있으므로 a-e 사이의 합성 저항은 약 87.5옴이 됩니다.