정십이면체 저항 풀어보기

정십이면체 모양으로 저항을 연결해 보았다.

각 모서리가 R 인 저항으로 연결된 상태일 때, 가장 먼 두 지점(검은 점을 찍은)간의 저항은 얼마일까?

다면체 저항은 대칭성을 이용해서 답을 찾아야 한다. 

두 점 사이의 저항은 대칭적으로 구성되어 있다. 위쪽의 점에서 아래쪽의 점으로 전류가 흐른다고 할 때, 맨 처음 전류는 3등 분할되어 흐르게 된다. 이 지점의 저항은 1/3 R 이 된다.

이후 전류는 각각 2분할 되어 6개의 저항으로 똑같이 나뉘어 흐르게 된다. 이 부분의 저항은 1/6 R 이 된다. 

등전위면으로 흐르는 전류는 없으므로, 해당 저항은 없는 것으로 간주하면, 전류는 또 다시 6개의 저항으로 흐르게 되어 이 부분의 저항은 1/6 R 이 된다. 

또 다시 등전위면에 연결된 저항을 만나게 되고, 이 부분으로 흐르는 전류가 없으므로 또 다시 6개의 저항으로 흐르게 되어 이 부분의 저항은 1/6 R 이 된다. 

다시 전류는 3개의 저항으로 합쳐져서 3등분할된 전류가 흐르게 되고 이 부분의 저항은 1/3 R 이 된다.

이 부분들은 직렬연결되어 있으므로 합성 저항은 1/3 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/3 = 7/6 R 이 된다. 

각각의 저항은 100k ohm 으로 구성되어 있으므로 계산대로라면 116.6k ohm 정도가 나와야 한다. 실제로 측정해 본 결과 116.5k ohm 이 측정되었다. 100k ohm 저항이지만, 각각의 저항이 오차가 있어서 ±5% 정도 차이가 날 수 있다.